История рекламы
Создание рекламы
Основные виды рекламы
Принципы и практика рекламы
Как работает реклама
Эффективность рекламоносителей
Исследование рынка
Расходы на рекламу
Социокультурные измерения рекламы
Маркетинг
Маркетинг:основы теории и практики
Маркетинг и рост фирм
Управление малым бизнесом
Международная экономика
Производственный учёт



Предыдущая     |         Содержание     |    следующая

Международная экономика

Математическое приложение

Математическое приложение к главе 3 • Модель специфических факторов Рассмотрим модель специфических факторов в математической форме. Это поможет нам не только глубже разобраться в данной модели, но облегчит понимание ряда других связанных с ней инструментов анализа. Спрос на факторы, на цены и издержки производства В модели специфических факторов существуют лишь две отрасли: промышленность и сельское хозяйство. В первой применяются труд и капитал, во второй труд и земля. Рассмотрим сначала, как издержки производства и спрос на факторы влияют на факторные цены, когда производители используют два фактора. Возьмем для примера отрасль, где применяются труд и капитал. Технология производства здесь характеризуется постоянной отдачей от масштаба и описывается единичной изоквантной (II на рис. ЗП.1). Эта кривая показывает все возможные колебания затрат труда и капитала ак и aL, с помощью которых можно произвести одну единицу товара. Характер изгиба изокванты показывает растущую сложность замещения труда капиталом по мере роста соотношения капитал/труд, и наоборот.

В рыночной экономике производитель выберет такое соотношение труда и капитала в производстве, которое минимизирует общую сумму затрат. На рис. ЗП.1 это точка Е. В ней изокванта является касательной к линии, наклон которой равен отношению цен труда и капитала

, взятому с обратным знаком. Функция издержек в целом имеет вид : где коэффициенты затрат

и

подобраны так, чтобы минимизировать С. Если соотношения затрат труда и капитала уже подобраны так, чтобы минимизировать издержки, значит любые изменения

и

не способны более привести к уменьшению суммы затрат. Пусть

и

будут обозначать малые отклонения от оптимальной комбинации затрат факторов. В точке минимизации издержек будет выполняться равенство:

Теперь посмотрим, что произойдет, если изменены цены на факторы

и

, Это будет иметь двойной эффект: изменятся соотношение

и

и сумма затрат в точке эффективного выпуска. Выясним сначала, как изменится соотношение акп в£. Оптимальное значение

есть некая функция соотношения цен на факторы. Она описывается формулой:

Эта функция определяет взаимосвязи соотношения цен и соотношения затрат факторов. Но изменится не только структура затрат, но и общая стоимость выпуска. При малых изменениях цен

и

она изменится на: Из выражения (ЗП.2) можно видеть, что последние два слагаемых в выражении (ЗП.4) равны нулю. Поэтому изменение суммы затрат будет равно:

Мы можем преобразовать выражение (ЗП.4) следующим образом:

Выражение получается при делении обеих частей выражения (ЗП.4) на С и при умножении и делении обеих слагаемых в правой части нагию соответственно. Отношение

мы будем называть процентным изменением С, обозначив его С . Аналогичные зменения

обозначим

и

. Выражение

будем

интерпретировать как долю капитала в общей сумме затрат и обозначим как дк, a 6L будет соответственно долей затрат труда. В итоге уравнение (ЗП.5) примет более компактный вид:

где

С помощью высшей математики можно выразить и связь между ценами на факторы и соотношениями их затрат в процессе производства. Рост цен на труд по отношению к цене капитала ведет к снижению доли затрат труда, и наоборот. Отсюда

где о изменение (в %) соотношения труда и капитала в затратах, вызванное изменением относительной цены труда на 1%. Коэффициент а называют еще эластичностью замещения факторов. Определение факторных цен в модели специфических факторов

Обе отрасли в модели специфических факторов имеют следующие производственные функции:

где

производственная функция для промышленности (специфический фактор -капитал),

производственная функция для сельского хозяйства (специфический фактор земля). Предложение капитала и земли в той и другой отрасли совпадает соответственно с наличным количеством этих ресурсов в экономике. Труд же применяется в обеих отраслях сразу. Его суммарное предложение равно

В условиях совершенной конкуренции цена товара равна издержкам. Для промышленности это означает

где

цена капитала, w зарплата,

и затраты факторов на единицу продукции в этой отрасли.

Используя выражение (ЗП.6), получаем:

или Проделав аналогичные операции, мы можем получить выражение для цены на землю в сельском хозяйстве: Итак, через уравнения и мы выразим зависимость цен на капитал и землю от цен на труд, промтовары и пищу. Далее нам необходимо определить, от чего зависит цена на труд или заработная плата. Для начала отметим, что

и

Отсюда Раз предложение специфических факторов фиксировано, занятость в промышленности может расти только при изменениях в структуре затрат. Дифференцируя (ЗП.16), получаем Из выражения (ЗП.12) в то же время мы можем вывести, что Отсюда

где

эластичность замещения факторов в промышленности. Аналогично для сельского хозяйства

Теперь рассмотрим условие полной занятости, описанное выражением (ЗП.9). Если общее предложение труда неизменно, то рост занятости в одной отрасли должен компенсироваться равнозначным ее сокращением в другой отрасли.

Отсюда Это равнозначно:

или

где

т.е. доля занятых в промышленности в общей численности занятых. Последний шаг состоит в подставлении в выражение (ЗП.22) формул для спроса на труд: или Другими словами, изменение зарплаты является средней взвешенной изменений цен на продовольствие и промтовары. Эффект от изменения относительных цен Предположим, что цена на промышленные товары выросла по сравнению с ценой на пищу. Так как рост зарплаты средняя взвешенная роста цен на товары, то Влияние этого роста зарплаты на занятость можно видеть из выражений. Так как

и соответственно если, . Занятость в промышленности вырастет, в сельском хозяйстве - снизится. Как относительные цены на товары повлияют на цены факторов, можно видеть из выражений (ЗП.12) и (ЗП.13). Вновь, раз

вырастет больше, чем

, но рост

будет отставать от роста

. В целом взаимосвязь товарных и факторных цен можно обобщить

Так как цена капитала обгоняет цены обоих товаров, владельцы этого фактора совершенно очевидно выиграют от рост относительных цен на промтовары. Наоборот, цена земли вырастет меньше товарных цен, и владельцы этого фактора понесут потери. Для владельцев рабочей силы реальная зарплата в единицах продовольствия вырастет, а в единицах промтоваров упадет. Математическое приложение к главе 4 • Модель факторных пропорцийМодель факторных пропорций во многом схожа с моделью специфических факторов. Здесь тоже рассматриваются две отрасли, использующие два фактора производства, но при условии одинаковых факторов, что делает возможным свободный перелив видов ресурсов между различными секторами хозяйства. Основные уравнения факторных пропорций Представим себе страну, производящую два товара:

и

с использованием двух факторов производства - труда и земли. Пусть производство товара X будет землеемким. Цены каждого товара должны быть равны издержкам:

где

это оптимальные затраты факторов на единицу каждого вида продукции при словии минимизации общей суммы издержек.

Кроме того, должно выполняться условие полного использования всех наличных ресурсов:

где

совокупные предложения земли и труда. Из уравнении и вытекают выражения для изменений цен на факторы, аналогичные выражениям модели специфических факторов:

где

доля земли в затратах на производство товара X и т.п. Как мы условились выше,

, поскольку производство товара X требует больших затрат земли, чем У. Рассмотрим теперь более подробно выражения (4П.З) и (4П.4). Затраты факторов на единицу продукта могут изменится при изменении факторных цен. Но цены на факторы никогда не изменятся, если товарные цены будут оставаться постоянными. Следовательно, для данных цен на X и У мы можем записать, что

где

доля совокупного предложения труда, задействованная в производстве X и т.п. При том

поскольку производство X требует сравнительно больше затрат земли. Цены на товары и факторы Уравнения изменений цен на факторы могут быть преобразованы следующим образом:

где

(при условии, что

).

Выразить таким путем

и

можно, используя тот факт, что Далее еще раз преобразуем выражения для

и

Предположим теперь, что относительная цена X выросла и

. Отсюда Другими словами, реальная цена земли растет, а труда падает в единицах обоих товаров. И в частности, это произойдет, когда цена товара X выросла, а цена товара У осталась без изменения.

• Предложение товаров и факторов Если цены принять фиксированными, то можно решить уравнение (4П.7) и (4П.8) относительно изменений в объеме производства каждого товара. Это можно сделать, используя тот факт, что aTY = 1 атх, a aLY = 1 aLX. В итоге получаем:

Математическое приложение к главе 5 • Мировой рынок

• Спрос, предложение и равновесие